الموادالرياضياتالفصل ٦
خروج
الرياضيات · الفصل ٦

الرياضيات — الفصل ٦

معروض ٠ من ٠ صفحات الفصل
صفحة ٣٤
نشاط

نشاط ١:

تُعدّ التروس (المسننات) من الأجزاء الميكانيكية المهمة التي تُسهم في نقل الحركة، وهي عبارة عن عجلات دائرية لها بروزات تتشابك مع أسنان الترس الآخر، وهكذا لتُشكِّل سلسلةً من التروس بأحجام مختلفة تُسهم في تسهيل الحركة المطلوبة ونقلها.

بالاعتماد على الشكل المجاور:
  • ١
    حدِّد اتجاه الحركة للترسين: الأحمر والأصفر، علمًا بأن حركة الأزرق باتجاه عقارب الساعة.
  • ٢
    إذا فرضنا أن الترس الأزرق يدور \( \ar{x} \) مرة، فإن الأحمر \( \ar{h} \) يدور:
    \[ \ar{h=\frac{4}{3}x} \]
    أما الأصفر \( \ar{y} \) فيدور نصف عدد دورات الأحمر:
    \[ \ar{y=\frac{1}{2}h=\frac{2}{3}x} \]
    (لاحظ عدد المسننات في كل ترس). هل يمكن إيجاد \( \ar{\frac{dy}{dx}} \)؟
تواجهنا بعض الاقترانات مثل:
\[ \ar{f(x)=(x^2+1)^3} \]
والمطلوب إيجاد \( \ar{f'(x)} \). وهنا نلجأ إلى فكّ المقدار أولًا ثم اشتقاق الناتج، أو استخدام مشتقة حاصل الضرب، ولكن هذه الطريقة تزداد صعوبةً وتعقيدًا كلما كان الأس كبيرًا، وهذا يدعو إلى البحث عن طريقة أسهل لإيجاد مشتقة هذه الاقترانات.

مثلًا، إذا كان:
\[ \ar{y=f(x)=(x^2+1)^3} \]
وفرضنا أن:
\[ \ar{z=g(x)=x^2+1} \]
فيكون:
\[ \ar{y=f(z)=z^3} \]
ملاحظة

أتذكر :

الاقتران المركب من \( \ar{f} \)، \( \ar{g} \) هو:
\[ \ar{(f\circ g)(x)=f(g(x))} \]
قانون

قاعدة السلسلة:

إذا كانت:
\[ \ar{y=f(z),\quad z=g(x)} \]
وكان \( \ar{g(x)} \) قابلًا للاشتقاق و \( \ar{f(z)} \) قابلًا للاشتقاق عند \( \ar{z=g(x)} \)، ومدى \( \ar{g} \) \(\ar{\subset}\) مجال \( \ar{f} \)، فإن:
\[ \ar{\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\times\frac{dz}{dx}} \]
أي أن:
\[ \ar{(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\times g'(x)} \]

هذه الصفحة الأولى من الفصل. تبقّى ٤ صفحات.