أنشأ السيد مراد مصنعاً للألبان في إحدى المدن الفلسطينية؛ ليزود السوق الفلسطيني بمنتجات الألبان، بعد النقص الحاصل من مقاطعة بضائع الاحتلال، والذي يعتبر شكلاً من أشكال المقاومة السلمية. فإذا كان بهذا المصنع خطان للإنتاج، بحيث ينتج الخط الأول عبوات من الألبان وفق الاقتران
\[
\ar{f(n)=n^2+n}
\]
أما الخط الثاني فينتج عبوات وفق الاقتران
\[
\ar{h(n)=n^2+2n}
\]
حيث \( \ar{n} \) الزمن بالساعات.
●
يكون معدل التغير في إنتاج الخط الأول من العبوات بعد \( \ar{n} \) ساعة يساوي \[
\ar{f'(n)=2n+1}
\]
●
أما معدل التغير في إنتاج الخط الثاني من العبوات فيساوي ........................
●
كمية إنتاج الخطين من العبوات بدلالة \( \ar{n} \) يساوي ........................
●
معدل التغير في إنتاج المصنع بدلالة \( \ar{n} \) يساوي ........................ ماذا تستنتج؟
تعلمت في الدرس السابق مفهوم متوسط التغير للاقتران \( \ar{y=f(x)} \) عندما تتغير \( \ar{x} \) من \( \ar{x_1} \) إلى \( \ar{x_1+\Delta x} \) وكان
وإذا أخذنا \( \ar{\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}} \) ، وكانت هذه النهاية موجودة فإننا نسميها معدل التغير للاقتران \( \ar{f(x)} \) عند \( \ar{x_1} \)، أو المشتقة الأولى للاقتران \( \ar{f(x)} \) عند \( \ar{x=x_1} \)، ونقول إن \( \ar{f(x)} \) قابل للاشتقاق عند \( \ar{x_1} \).
(أي كلما اقتربت \( \ar{x} \) من \( \ar{x_1} \)، فإن متوسط تغير الاقتران (ميل القاطع) يؤول إلى معدل تغير الاقتران \( \ar{f(x)} \) (ميل المماس) عند \( \ar{x_1} \)، انظر الشكل المجاور.)