الرياضيات — الفصل ٢٤

معروض ٠ من ٠ صفحات الفصل

صفحة ١٤٣

يصادفنا في كثير من الأحيان تكاملات لا يمكن إيجادها باستخدام قواعد التكامل غير المحدود، وسنتعرف في هذا الدرس على ثلاث طرق لإيجاد التكامل غير المحدود، وهي:

١
التكامل بالتعويض.
٢
التكامل بالأجزاء.
٣
التكامل بالكسور الجزئية.

نشاط

نشاط ١:

إذا كان
\[ \ar{f(x)=2x(2+x^2)^2} \]

١
تحقق أن:
\[ \ar{g(x)=\frac{1}{3}(2+x^2)^3} \]
اقتران أصلي للاقتران \( \ar{f(x)} \).
٢
\( \ar{\int 2x(2+x^2)^2\,dx} \) = ............
٣
ليكن \( \ar{h(x)=2+x^2} \) فإن \( \ar{h'(x)} \) = ............
٤
العلاقة بين \( \ar{2x} \) و \( \ar{2+x^2} \) هي ............

نشاط

فكر وناقش:

هل
\[ \ar{\int x\sqrt{x}\,dx=\left(\int x\,dx\right)\left(\int \sqrt{x}\,dx\right)} \]
؟

ماذا تلاحظ؟

تعلمت في الفصل الأول بأن:

قانون

\[ \ar{\frac{d}{dx}\big((f(x))^n\big)=n(f(x))^{n-1}f'(x)} \]
أي أن \( \ar{(f(x))^n} \) هو اقتران أصلي للاقتران \( \ar{n(f(x))^{n-1}f'(x)} \)، وبذلك يكون:
\[ \ar{\int n(f(x))^{n-1}f'(x)\,dx=(f(x))^n+C} \]

قانون

وبشكل عام:

إذا كان \( \ar{h(x)=z} \) فإن:
\[ \ar{\int f(h(x))\,h'(x)\,dx=\int f(z)\,dz} \]
علماً بأن \( \ar{f(x)} \)، \( \ar{h(x)} \) اقترانان متصلان.

هذه الصفحة الأولى من الفصل. تبقّى ١٥ صفحات.

أقسام الفصل

مقدمة أولاً: التكامل بالتعويض (Integration by Substitution)

أكملتِ ٠ من ٠ صفحات