قال أحمد لمعلم الرياضيات: اتفقت أنا وزملائي بأن نسمي النقطة \( \ar{(a,0)} \) بالنقطة الذهبية. قال له المعلم: لماذا يا أحمد؟ أجاب أحمد: لأنه إذا كان \( \ar{f(x)} \)، \( \ar{g(x)} \) اقترانين كثيري حدود يمران بالنقطة \( \ar{(a,0)} \) فإن:
١
\[\ar{\lim_{x\to a}\big(f(x)\pm g(x)\big)=0}\]
٢
\[\ar{\lim_{x\to a}\big(f(x)\,g(x)\big)=0}\]
أما \[\ar{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}}\] فبالتعويض المباشر \[\ar{\frac{f(a)}{g(a)}=\frac{0}{0}}\]
تعلمت في الصف الحادي عشر كيفية إيجاد النهايات التي تكون على الصورة غير المعينة \( \ar{\frac{0}{0}} \)، ولاحظت أن كثيراً منها يحتاج إلى خطوات عديدة وأحياناً معقدة، وهنا سوف نتعلم طريقة جديدة لحساب قيمة بعض هذه النهايات.
قانون
قاعدة لوبيتال
إذا كان \( \ar{f(x)} \) و\( \ar{g(x)} \) قابلين للاشتقاق عند النقطة \( \ar{x=a} \)، \( \ar{L\in\mathbb{R}} \)، وكانت \[\ar{\frac{f(a)}{g(a)}=\frac{0}{0}}\] فإنه إذا كان \[\ar{\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L}\] فإن \[\ar{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=L}\]
برهان
البرهان: (للمعرفة فقط)
بما أن \[\ar{f(a)=0,\; g(a)=0}\] فإن \[
\ar{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}
=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}
\]
وكذلك \[
\ar{\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}
=\lim_{x\to a}\frac{x-a}{x-a}\cdot\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}
\]